До сих пор интеграл был нашим инструментом для измерения пространства между одной кривой и неподвижной осью абсцисс. Но что, если сама поверхность движется? В этом уроке мы выходим за рамки оси и учимся вычислять площадь областей, ограниченных двумя независимыми функциональными границами, $f(x)$ и $g(x)$.
Геометрия разностей
Чтобы найти площадь $A$ области $S$, ограниченной кривыми $y = f(x)$ и $y = g(x)$ на интервале от $x = a$ до $x = b$, мы используем ту же логику сумм Римана, которая легла в основу исчисления.
Расширение Римана
Мы делим область на $n$ вертикальных полос. Если $x_i^*$ — точка выборки в $i$-м интервале, то высота приближающего прямоугольника не просто $f(x_i^*)$, а разница между высотами верхней и нижней кривых:
$$h = f(x_i^*) - g(x_i^*)$$
От суммы к интегралу
По мере увеличения количества полос до бесконечности ($n \to \infty$) сумма площадей этих прямоугольников сходится к определённому интегралу:
Основная формула:
$$A = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} [f(x_i^*) - g(x_i^*)] \Delta x = \int_a^b [f(x) - g(x)] dx$$
где $\Delta x = \frac{b-a}{n}$.
Правило абсолютной разницы
А что, если кривые пересекаются? Если просто проинтегрировать $f-g$, когда $g$ на самом деле выше $f$, мы получим отрицательный результат. Чтобы гарантировать, что мы всегда вычисляем величину площади, мы используем абсолютное значение:
$$A = \int_a^b |f(x) - g(x)| dx$$
🎯 Теорема о формуле площади
Если $f$ и $g$ — непрерывные функции и $f(x) \ge g(x)$ для всех $x$ на отрезке $[a, b]$, то площадь $A$ области, ограниченной кривыми $y = f(x)$, $y = g(x)$, $x = a$ и $x = b$, равна:
$$A = \int_a^b [f(x) - g(x)] dx$$
Пример 1: Экспоненциальная функция против линейной
Найдите площадь, ограниченную сверху кривой $y = e^x$, снизу — $y = x$, от $x = 0$ до $x = 1$.
$$A = \int_0^1 (e^x - x) dx = [e^x - \frac{1}{2}x^2]_0^1 = (e - \frac{1}{2}) - (e^0 - 0) = e - 1.5 \approx 1.218$$